Bài viết này viettiep.info giới thiệu đến bạn đọc Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện được trích từ Bài giảng khoá học COMBO X tại viettiep.info:

Đây là bài viết rất hữu ích đối với bạn đọc, đầy đủ tất cả các trường hợp hay gặp khi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

Đáy là một đa giác nội tiếp

Chứng minh. Xem bài giảng

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Bạn đang xem: Cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=\frac{13a}{2}.$

B. $R=6a.$

C. $R=\frac{17a}{2}.$

D. $R=\frac{5a}{2}.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$

Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{5a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{12a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có \ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{6}.$

B. \<\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\>

C. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{18}.$

D. $\frac{7\pi {{a}^{2}}}{12}.$

Giải. Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot SB \hfill \\ SA \bot SC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SA \bot (SBC).$

Vì vậy $R=\sqrt{R_{SBC}^{2}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{BC}{2\sin \widehat{BSC}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{7}{12}}a.$

Diện tích mặt cầu $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \

Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng

A. $\frac{4}{3}.$

B. $8.$

C. $\frac{8}{3}.$

D. $8.$

Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$

Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

\<12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt<3>{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\>

Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$B. $a=2R.$C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$D. $a=2\sqrt{3}R.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2:Cho hình lăng trụ tam giác đều \ có các cạnh đều bằng \. Tính diện tích \của mặt cầu đi qua$$ $6$ đỉnh của hình lăng trụ đó.

A.\

B. \

C.\

D. \

Giải. Có $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}} \right)=4\pi \left( {{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Ví dụ 1:Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $ABCD,$ trong đó $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}},$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Giải.

Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}}=O{{I}^{2}}-R_{d}^{2}\Leftrightarrow R_{d}^{2}=O{{I}^{2}}+{{h}^{2}}\ge {{h}^{2}}.$

Do đó $R\ge \sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\frac{h\sqrt{5}}{2}.$

Chọn đáp án C.Dấu bằng đạt tại $O\equiv I.$

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R = \sqrt {R_d^2 + {{\left( {\dfrac{a}{2}.\cot x} \right)}^2}} $ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $\sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
A. $R=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$B. $R=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.$C. $R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$D. $R=\sqrt{2}a.$

Giải.Ta có $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}"{B}"{C}"$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Biết $AB=A{A}"=a,$ $AC=2a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M{A}"{B}"{C}"$ bằng

A. $5\pi {{a}^{2}}.$

B. $3\pi {{a}^{2}}.$

C. $4\pi {{a}^{2}}.$

D. $2\pi {{a}^{2}}.$

Giải.Chóp $M.{A}"{B}"{C}"$ có mặt bên $(M{A}"{C}")\bot ({A}"{B}"{C}")$ do đó

$S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( R_{{A}"{B}"{C}"}^{2}+R_{M{A}"{C}"}^{2}-{{\left( \dfrac{{A}"{C}"}{2} \right)}^{2}} \right)=4\pi \left( {{\left( \dfrac{\sqrt{5}a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2a}{2} \right)}^{2}} \right)=5\pi {{a}^{2}}.$

trong đó ${{R}_{{A}"{B}"{C}"}}=\dfrac{{B}"{C}"}{2}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2};M{A}"=M{C}"=\sqrt{2}a,{A}"{C}"=2a\Rightarrow M{A}"\bot M{C}"\Rightarrow {{R}_{M{A}"{C}"}}=\dfrac{{A}"{C}"}{2}=a.$

Chọn đáp án A.

*

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=\dfrac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$

Ví dụ 1.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh $\sqrt{3}a.$

A. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

B. $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

C. $R=\frac{3\sqrt{2}a}{4}.$

D. $R=\frac{3a}{4}.$

Giải.Ta có $cb=\sqrt{3}a,h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}a\Rightarrow R=\frac{3{{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a}=\frac{3\sqrt{2}a}{4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $x$ với $x>1.$ Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(7;3\pi ).$

B. $(0;1).$

C. $(1;5).$

D. $(5;7).$

Giải.

Xem thêm: Tổng Hợp 4 Phần Mềm Chụp Ảnh Bằng Camera Laptop Windows, Mac Đơn Giản

Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi

$V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{c{{b}^{2}}}{2h} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2\sqrt{{{x}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}} \right)}^{3}}=g(x)=\pi \dfrac{{{x}^{6}}}{6\sqrt{{{({{x}^{2}}-1)}^{3}}}}\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathop{\min }}\,g(x)=g(\sqrt{2})=\dfrac{4\pi }{3}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 7:Khối tứ diện gần đều $ABCD$ có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ có $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này viettiep.info sẽ gửi cho các bạn

*

*

*

*

*